如图1所示，滚珠直线轴承一般由轴承套、保持架、多列滚动体和两端环形密封挡板构成。多列滚动体密布在环形保持架内，外圈内表面两端的环形密封挡板对保持架起固定作用。

图  1  直线轴承结构图

Figure 1.  Structure of linear bearing

直线轴承在工作过程中，一般是外圈受横向载荷。本文在建立力学模型时，引入如下假设：（1）各滚动体和滚道接触变形均在弹性范围内；（2）滚动体的尺寸误差仅为直径误差，仍然保持为球形；（3）不考虑与直线轴承配合的轴和轴承内部轨道的几何误差^[15]。

如图2(a)所示，外载荷F作用在沿轴线宽度非对称位置，在该外加载荷作用下，每一列滚动体都将受力。假设直线轴承沿轴向分布m列滚动体，称作轴向列，由左至右分别标号${\rm{1,2,}} \cdots ,j{\rm{,}} \cdots, m$。j号滚动体所在的直线轴承横截面记为截面j，在该截面上的滚动体称作圆周列，每个圆周列布置的滚动体数量为n个，沿顺时针方向进行编号标注${\rm{1,2,}} \cdots k{\rm{,}} \cdots ,n$（见图3）。

图  2  直线轴承的受力分析

Figure 2.  Force analysis of linear bearing

图  3  滚动体的弹性变形

Figure 3.  Deformation of a ball

横向载荷F与圆周向第一列滚动体所在截面1之间距离为x，滚动体直径为${D_w}$，则截面j与F之间的距离${l_j}$可以表示为：

在横向载荷的作用下，直线轴承内的滚动体与轴和滚道接触，产生接触力。以竖直向上为正方向，记F作用下截面j的n个滚动体所受载荷在竖直方向的合力为${f_{jz}}$，该合力与F应满足静力平衡和力矩平衡：

由于滚动摩擦力很小，可以忽略不计，直线轴承受载后会在xoy平面内产生偏转（图2(b)所示）^[16]。记截面j的n个滚动体所受载荷在水平方向的合力为${f_{jy}}$，直线轴承每个截面的合力在y方向上也应满足静力平衡：

如图2(c)所示，假设截面j受到的外力为F_j，在F_j的作用下，外圈将产生径向位移，使每个滚动体受力。由于滚动体存在尺寸误差，尺寸大的滚动体首先接触，发生弹性变形，尺寸较小的滚动体也逐渐产生受力变形。

如图2所示，假设截面1的外圈中心在z轴方向产生竖直向下的位移${\delta _z}$，直线轴承由于横向载荷作用在xoz平面内产生偏转角$\gamma $。每个截面的外圈中心偏移量不同，记为${\alpha _j}$，截面1的外圈中心受载后在y轴方向上产生位移${\delta _y}$，直线轴承在xoy平面内产生偏转角$\theta $。

通过几何关系可以求出截面j在受载后外圈中心${O_j}^\prime $沿z轴方向产生的位移${\delta _{jz}}$和沿y轴方向产生的位移${\delta _{jy}}$：

其中，${D_w}$为滚动体直径。

直线轴承在xoz平面内的翻转中心点和在xoy平面内的偏转中心点为同一点，${\delta _z}$、$\gamma $、${\delta _y}$和$\theta $应满足：

截面j的外圈中心偏转角${\alpha _j}$可以表示为：

受载后外圈中心的实际偏移量${\delta _{jr}}$为：

图2(c)中，1号滚动体与外载荷作用线夹角为$\beta $，两列钢球之间的夹角为$\varphi $。若滚动体不存在尺寸误差，以截面j的k号滚动体为例，O_jk为受载前钢球球心，O_jk’为受载后钢球球心，则滚动体的变形量${\delta _{jk}} = $$ {O_{jk}}{O_{jk}}^\prime $。

此时，根据变形协调关系，可以推出截面j的第k号滚动体的弹性趋近量${\delta _{jk}}$

其中，${\psi _{jk}}$为截面j的k号钢球与外圈中心偏移方向的夹角，${\psi _{jk}} = \alpha + \beta + \left( {k - 1} \right)\varphi ,k = 1,\cdots,n$。

由于主轴固定不动，当外载荷在直线轴承上方作用时，承载区位于上半圈${\alpha _j}$方向两侧各90°范围内。当${\delta _z}$>0时，给定$\;\beta$，$0 \leqslant \beta < \varphi $，若$0 \leqslant {\psi _{jk}} \leqslant \dfrac{{\text π} }{2}$或$\dfrac{{3{\text π} }}{2} \leqslant {\psi _{jk}} < 2{\text π}$，则${\delta _{jk}} = 0$，若$\dfrac{{\text π} }{2} < {\psi _{jk}} < \dfrac{{3{\text π} }}{2}$，则${\delta _{jk}} = $$ {\delta _{jr}}\cos {\psi _{jk}},k = 1,2,\cdots,n$。

实际的直线轴承的滚动体一定会存在尺寸误差，假设截面j承载区的k号钢球出现负误差，直径为${D_{jk}}$。此时应判断计算出的${\delta _{jr}}\cos {\psi _{jk}}$与钢球直径误差${D_w} - {D_{jk}}$的大小关系，若${\delta _{jr}}\cos {\psi _{jk}} > \left( {{D_w} - {D_{jk}}} \right)$，说明外圈滚道和主轴之间的弹性趋近量大于钢球尺寸偏差，此时钢球与滚道和轴均接触。此时钢球的真实变形量为：

若${\delta _{jr}}\cos {\psi _{jk}} \leqslant \left( {{D_w} - {D_{jk}}} \right)$，说明外圈滚道和主轴的弹性趋近量小于钢球的尺寸偏差，此时钢球与外圈滚道和主轴之间无接触，钢球的真实变形量${\delta _{jk}} = 0$。

因此需要先判断钢球是否在承载区，再比较承载区内钢球的误差与${\delta _{jr}}\cos {\psi _{jk}}$的大小关系，最终判断钢球的真实变形量。

当考虑滚动体和滚道之间的游隙时，假设直线轴承的游隙为C，不考虑滚动体尺寸误差的情况下，需要判断${\delta _{jr}}\cos {\psi _{jk}}$和C之间的大小关系，若${\delta _{jr}}\cos {\psi _{jk}} > C$，此时外圈滚道和主轴之间的弹性趋近量大于游隙，钢球与滚道和轴都接触，此时钢球的真实变形量为；

若${\delta _{jr}}\cos {\psi _{jk}} \leqslant C$，此时外圈滚道和主轴之间的弹性趋近量小于游隙，钢球与外圈滚道和主轴之间无接触，钢球的真实变形量${\delta _{jk}} = 0$。

同理，当${\delta _z}$<0时，截面j的k号滚动体的变形${\delta _{jk}}$仍可用上述方法求出，此时，${\psi _{jk}}$为k号钢球的反向延长线与外圈中心偏移方向的夹角${\psi _{jk}} = \alpha + \beta +\left( {k - 1} \right) $$ \varphi ,k = 1,2,\cdots,n$。

在横向载荷作用下，承载区的滚动体与轨道、轴的接触情况由点接触变为椭圆面接触，形成弹性趋近量$\delta $。单个滚动体受载后的弹性变形量可表示为$\delta = {\delta _s} + {\delta _a}$。其中，${\delta _s}$为滚动体与外圈轨道接触时的弹性趋近量，${\delta _a}$为滚动体与轴接触时的弹性趋近量。

根据赫兹接触理论^[17]，直线轴承中单个滚动体所受的法向载荷和弹性变形的关系为：

式中，f为单个滚动体受到的力；D_w为滚动体直径；D₀为主轴直径；${E^{'}}$为等效弹性模量，$\dfrac{2}{{{E^{'}}}} =\dfrac{{1 - {\mu _1}^2}}{{{E_1}}} + $$ \dfrac{{1 - {\mu _2}^2}}{{{E_2}}}$；$\mu $为泊松比；$\displaystyle\sum {{\rho _s}}$和$\displaystyle\sum {{\rho _a}}$分别为滚动体与外圈轨道接触、滚动体与主轴接触处的主曲率之和；${J_s}$，${Q_S}$为滚动体与外圈轨道接触时的椭圆面的第一类、第二类椭圆积分；${a_s}^*$、${b_s}^*$为长轴、短轴参数，${J_s}$、${Q_S}$、${a_s}^*$、${b_s}^*$存在一定的函数关系，其中

k为椭圆率，$e = \sqrt {1 - {k^2}} $，e为椭圆偏心率。

有近似表达式^[18]：

其中，$\displaystyle\sum {{\rho _1}} = {\rho _{11}} + {\rho _{22}}$；$\displaystyle\sum {{\rho _2}} = {\rho _{12}} + {\rho _{21}}$。同理，${J_a}$、${Q_a}$、${a_a}^*$、${b_a}^*$也可通过上式进行计算。

令（12）式中$\dfrac{1}{\pi }{\left( {\dfrac{3}{{{E^{'}}}}} \right)^{\tfrac{2}{3}}}\left[ {{{\left( {\displaystyle\sum {{\rho _s}} } \right)}^{\tfrac{1}{3}}}\dfrac{{{J_s}}}{{{a_s}^*}} + {{\left( {\displaystyle\sum {{\rho _a}} } \right)}^{\tfrac{1}{3}}}\dfrac{{{J_s}}}{{{a_a}^*}}} \right] = $$ K$，则可以得出：

式中，${f_{jk}}$——截面j的k号滚动体在F作用下所受的载荷；

${\delta _{jk}}$——截面j的k号滚动体在F作用下产生的变形。

根据受力平衡和几何关系，竖直方向上，各钢球所受的载荷分量之和与F平衡：

在竖直方向上，各钢球所受的载荷分量对F的作用点满足力矩平衡：

水平方向上，各钢球所受的载荷在水平方向上互相抵消：

根据前面的力学建模，本文制定了数值计算的方法，计算过程的流程如图4所示：

图  4  直线轴承滚动体受力计算流程图

Figure 4.  Calculation flow chart

以LM8UU型直线轴承为例进行计算研究，其结构参数见表1，外圈、主轴及滚动体材料为高碳铬轴承钢GCr15。

其中：n为直线轴承圆周列滚动体数，m为直线轴承轴向列的滚动体数，直线轴承安装角度$\varphi $为$\dfrac{\text π}{6}$，圆周列两列滚动体的夹角为$\dfrac{\text π}{2}$。

(1)载荷大小对滚动体受力的影响

图5为不考虑滚动体误差和游隙的情况下的计算结果，可以看出，圆周第1列和第4列滚动体，从轴向上第9列开始受力，随载荷的增大，每一个滚动体的受力都在增大；圆周第2列和第3列滚动体，从轴向上第1列至第9列滚动体受力，且随载荷增大而增大，轴向第9列之后的滚动体不受力。

图  5  不同载荷下直线轴承各列滚动体受力（x=1 mm）

Figure 5.  Force of balls under different loads（x=1 mm）

(2)载荷作用位置对滚动体受力的影响

图6为不考虑滚动体尺寸误差和游隙的情况下的计算结果，可以看出，当载荷位置作用于轴向中点对称位置(x=8.25 mm)时，仅有圆周第2列和第3列滚动体受力，且轴向列滚动体受力均匀。随着横向载荷向两端偏移，轴向列滚动体受力变得不均匀，当载荷偏离中心较大时，圆周第1列和第4列滚动体也开始受力，且轴向列滚动体受力分布也不均匀。

图  6  载荷作用于不同位置时各列滚动体受力（F=40 N）

Figure 6.  Force of balls with different load positions (F=40 N)

（3）游隙大小对滚动体受力的影响

图7为不考虑滚动体尺寸误差的情况下的计算结果，在不同的游隙下滚动体受力的曲线具有相似性。由(a)、(d)图可知，圆周第1列和第4列的滚动体在轴向上都从第9列之后开始受力，受力的大小随着游隙的增大而减小，游隙继续增大，轴向上受力的滚动体变少。由(b)、(c)图可知，圆周第2列和第3列受力的滚动体均为轴向1~8号滚动体，其中轴向1、2号滚动体受力随着游隙的增大而增大，4~8号滚动体受力随着游隙的增大而减小，3号滚动体受力几乎不随游隙变化。

图  7  不同游隙下的直线轴承滚动体受力（F=40 N; x=1 mm）

Figure 7.  Force of balls with different clearances (F=40 N; x=1 mm)

（4）滚动体尺寸误差对滚动体受力的影响

图8和图9分别为圆周第3列在轴向的2号滚动体存在3 μm负误差和正误差时直线轴承各滚动体受力图。从图8(a)、(c)和图9(a)、(c)可知，当2号滚动体存在负误差时，该滚动体受力减小，同一圆周列中与之相邻的滚动体受力略微增大，圆周第一列滚动体轴向9~12号滚动体受力略微增大；当它存在正误差时，该滚动体受力增大，同一圆周列与之相邻的滚动体受力略微减小，第一列滚动体轴向9~12号滚动体受力略微减小，以保证和外载荷平衡。而其他圆周列滚动体的受力几乎不变。

图  8  1个滚动体存在3 μm负误差时各列滚动体受力（F=40 N; x=1 mm,）

Figure 8.  Force of balls with 3 μm negative error for a single ball (F=40 N; x=1 mm)

图  9  1个滚动体存在3 μm正误差时各列滚动体受力（F=40 N; x=1 mm）

Figure 9.  Force of balls with 3 μm positive error for a single ball (F=40 N; x=1 mm)

为了研究滚动体尺寸随机误差的影响，作者利用Matlab中的函数随机生成一组滚动体直径的误差值，模拟实际加工过程中滚动体的误差分布。图10为随机生成的误差范围为±2 μm的每一个滚动体直径误差值。

图  10  滚动体直径误差序列

Figure 10.  Diameter error series of balls

如图11所示为横向载荷F为40 N、x为1 mm、不考虑游隙时直线轴承所有滚动体受力。图12将考虑随机误差时各列滚动体与尺寸无误差时滚动体受力进行对比，通过对比可知，考虑滚动体直径的随机误差时，每一个滚动体的受力将发生较大的变化。

图  11  每个滚动体存在随机尺寸误差时滚动体受力（F=40 N; x=1 mm）

Figure 11.  Force of balls with random size error (F=40 N; x=1 mm)

图  12  每个滚动体存在随机误差时直线轴承滚动体受力（F=40 N; x=1 mm）

Figure 12.  Force of balls with random size error (F=40 N; x=1 mm)

（1）以滚珠直线轴承为研究对象，对受到横向载荷的直线轴承进行力学分析，构建了直线轴承力学分析模型。基于赫兹接触理论建立了直线轴承滚动体接触力和变形的关系式，结合几何、力学相关知识，建立了精确计算受横向载荷的直线轴承每一个滚动体受力的计算模型，构建了数值计算的方法。以NPY公司生产的LM8UU型直线轴承为算例进行计算研究，深入研究了载荷大小和位置、滚动体尺寸误差、滚动体与滚道之间的游隙等因素对直线轴承力学性能的影响规律。

（2）通过算例研究发现：在不考虑滚动体误差和游隙的情况下，横向载荷作用于直线轴承中心对称位置时沿轴向方向每一列中每一个滚动体受力相同。当载荷偏离中心对称位置时，滚动体受力变得不均匀，在和偏心到一定程度后，轴向列只有部分滚动体受力。不考虑滚动体尺寸误差的情况下，随着游隙的增大，直线轴承轴向每一列滚动体受力各不相同，有的列受力随游隙的增大而增大，有的列滚动体受力随游隙的增大而减小。在不考虑游隙的情况下，只有1个滚动体的尺寸出现正误差会使该滚动体受力增大，同一圆周列其它滚动体受力会略微减小。只有1个滚动体尺寸出现负误差会使该滚动体受力减小，其周围的同一圆周列的滚动体受力会略微增大，以保持受力平衡。当考虑所有滚动体出现随机误差时，每一个滚动体的受力将与不考虑误差时有明显不同。文献[17]和文献[19]分别研究了考虑滚动体尺寸误差时滚珠螺旋副的力学性能和考虑径向游隙时双列球面滚子轴承的力学性能，研究表明滚珠螺旋副滚动体尺寸正误差会使其受力增大，负误差使其受力减小；双列球面滚子轴承的径向游隙使受载的滚动体数量减小，尺寸最大的滚动体载荷增大，与本文研究结论相符合。