图1所示为径向力作用下深沟球轴承力学模型，在径向力${F_r}$的作用下，滚动体和内外圈滚道相互接触，产生接触变形。内圈中心由点$O$偏移到了位置$O'$，其径向位移${\delta _r}$在X轴、Y轴的分量为${\delta _x}$、${\delta _y}$，在方位角${\varphi _j}$处的套圈位移量为：${\delta _{r,j}} = {\delta _x}\sin {\varphi _j} + {\delta _y} \cos {\varphi _j}$。

图  1  深沟球轴承受力模型

Figure 1.  Mechanics analysis of deep groove ball bearing

滚动体与内外套圈接触将会产生弹性接触变形，由文献[13]可知滚动体与内外圈滚道产生的弹性变形量${\delta _{i,j}}$、${\delta _{o,j}}$分别为：

其中：${e_\delta }$为接触曲率函数的参数，${\varepsilon _E}$为与材料有关的参数，当均为钢材时，取${\varepsilon _E} = 1$。$\sum \rho $为接触体主曲率之和。在方位角${\varphi _j}$处套圈位移量与滚动体接触变形量间的关系如式（2）所示：

其中$Pe$为轴承的游隙。根据受力平衡条件，内圈与滚动体之间的接触载荷分别在竖直与水平方向与所受到的外加载荷相互平衡：

其中Q为接触载荷，由式(1)可得：

通过式(2)、(3)、(4)、(5)可以求得理想情况下各滚动体的接触载荷$Q$的大小，同时也可以确定内圈的径向位移${\delta _r}$。

本文通过自相关函数法可以得到三维的随机波纹度表面。据文献[14]，取指数型自相关函数：

式中$\Delta h$为波纹度的幅值，τ_r、τ_z为周向和轴向取样步长，β_r、β_z为相关长度。生成的波纹度表面如图2所示。

图  2  轴承滚道表面波纹度示意图

Figure 2.  Waviness of bearing raceway

如图3所示，当轴承承受径向载荷作用时，由于滚道波纹度的存在，在中间平面滚动体受力不平衡，必然会向中间平面的两边发生窜动，当滚动体移动到一定的轴向位置，使得滚动体所受不平衡力分量相互抵消时，此即滚动体的实际平衡位置。

图  3  滚动体轴向位置示意图

Figure 3.  Axial displacement of rolling body

滚动体在滚道内旋转，其与滚道所接触的轮廓随时间不断发生改变。在轴承旋转的任意时刻t，滚动体的上下表面与其接触的轴承内外圈表面可由一组函数来描述：

式中，${y_{\rm{1}}}$、${y_{\rm{2}}}$代表的是与滚动体接触平面的内外圈表面轮廓，$y_{\rm{3}}^ + $、$y_{\rm{3}}^ - $为滚动体的上下表面轮廓。${\omega _i}$为内圈的旋转角速度，${\omega _b}$为滚动体的转速，根据运动学关系有：${\omega _b} = \dfrac{{{\omega _i}}}{{\rm{2}}}\left( {{\rm{1 - }}\dfrac{{{\rm{2}}D}}{{{d_F} + {d_E}}}} \right)$，式中$D$为滚动体的直径，${d_F}$、${d_E}$分别为内外圈的沟底直径。由于内外滚道波纹度峰值中与滚动体表面距离最近的位置处率先发生接触，通过式(8)可以确定滚动体与内外圈的Z向接触点位置$z_b^i$、$z_b^o$。

初始位置处滚动体的受力未必平衡，只有当其与内外圈的接触载荷沿着直径方向相互抵消，即接触点Z向的坐标$z_b^i$、$z_b^o$与滚动体中心坐标${z_b}$相互对称，如式(8)所示时受力才平衡。通过不断改变$z_b^{}$的取值从而找到一组满足式(9)约束条件的可行解，即可求出滚动体发生偏离时的接触点坐标。

图  4  波纹度影响下滚子受力平衡条件

Figure 4.  The balance condition of balls

考虑接触点处内外圈滚道波纹度误差，在方位角${\varphi _j}$处套圈位移量与各滚动体接触变形量的关系为：

其中$\Delta {h_i}$为接触点处内圈波纹度幅值，$\Delta {h_o}$为接触点处外圈波纹度幅值。当${\delta _{i,j}} + {\delta _{o,j}} < 0$时滚动体与内外滚道未发生接触，接触载荷${Q_j} = 0$。当${\delta _{i,j}} + {\delta _{o,j}} \geqslant 0$时，滚动体与内外滚道发生接触，接触载荷${Q_j} \geqslant 0$。由于滚动体的轴向运动使得接触载荷与滚道存在一接触角$\beta $，如图(4)所示，$Q'$为滚动体接触载荷$Q$在径向平面内的分量，有$Q' = Q\cos \beta $。

考虑波纹度影响下深沟球轴承受力模型如图5所示，研究假设轴承内圈受到的滚动体Z向载荷分量由转轴承担，即内圈沿着Z向不发生振动。根据轴承的受力平衡可知，内圈受到滚动体在竖直方向的作用力与所施加的载荷保持平衡：

图  5  考虑波纹度影响深沟球轴承受力模型

Figure 5.  Mechanics analysis of deep groove ball bearing considering waviness

同理，内圈受到钢球在水平方向的分力相互抵消：

将各滚动体的变形协调关系带入受力平衡方程(11)、(12)中即可求得在考虑波纹度情况下各滚动体的接触载荷$Q$及内圈的径向位移${\delta _r}$，同时将径向位移对时间求导可以获得内圈的运动速度。

通过将轴承内圈和滚动体的振动进行Fourier展开，可以得到不同幅值、频率和相位的简谐振动。深沟球轴承滚动体声源采用一阶球振声源模型，其辐射声压如式(13)所示。

式中：${B_1}$为一阶球诺伊曼函数系数，$k$为声音的波数，m代表了不同阶简谐振动的序数，$\theta $为各阶声波的初始相位，$L$为声压测点至轴承中心的距离，$\omega $为各阶声波的振动频率。

本文采用了声学边界元方法来研究内圈的声学特性，为了简化计算，对轴承内圈滚道进行了简化，如图6所示为离散后的内圈网格模型：

图  6  轴承内圈边界元模型

Figure 6.  The BEM model of inner ring

根据文献[15~16]，声压的传播可以通过Helmholtz积分方程来描述：

其中：$c$为与场点有关的参数，R为声压观测点，R₀为声压辐射点，n为内圈外表面的法向量，$G$为自由空间的格林函数，有：$G = \dfrac{{{e^{ - ik\left| {R - {R_0}} \right|}}}}{{4\pi \left| {R - {R_0}} \right|}}$。离散后的内圈表面由$M$个单元和$I$个节点组成，故式(14)被离散为：

式中：$C = diag\left( {{c_1},{c_2}, \cdots {c_I}} \right)$，${c_i} = \dfrac{{{\Omega _i}}}{{4{\text{π}} }}$，${\Omega _i}$为第i个节点所在位置处相邻离散单元所包围的空间角，${p_m} = {\left( {{p_{1,m}},{p_{2,m}}, \cdots {p_{I,m}}} \right)^{\rm{T}}}$，$N$为单元的插值形函数，此处采用一阶线性四边形单元进行插值计算，$\rho '$为空气的密度，$v$为单元的法向速度。通过求解式(15)可获得内圈表面的声压分布，进而通过式(16)可求得空间中任一测点处声压的变化：

在求得了各阶简谐频率振动下内圈和滚动体的辐射声场后，复杂振动下各声源的辐射声压可以通过声压的叠加原理进行求得：

在求得了各声源的辐射声压以后，从声能的角度可得轴承内圈和滚动体总的合成声场，如式(18)所示：

其中：${p_{{\rm{ball}}}}$为${p_{{\rm{ball}}}}$的实部，${p_{{\rm{ring}}}}$为${p_{{\rm{ring}}}}$的实部。根据文献[17]，轴承平均声压级的计算公式为：

其中$SPL$为轴承的声压等级，${p_0}$为基准声压，通常取2×10⁻⁵ Pa，${p_e}$为有效声压：${p_e} = \sqrt {\dfrac{1}{T}\int_0^T {{p_{tol}}^2{\rm{d}}t} }$。

图7所示为测量深沟球轴承辐射声压的球面场点，其中参考点H为于与Z轴成45°的球面之上，其坐标为：$(L/2,L/2,\sqrt 2 L/2)$。轴承振动噪声算法流程如图8所示：

图  7  轴承声压球面测点

Figure 7.  The sound pressure field sphere points

图  8  轴承振动噪声算法流程图

Figure 8.  Flow chart calculation

根据本文所建立的计算模型，以608轴承为例对其进行算例研究，轴承的具体参数如表1所示：

$Z$	$D$/ mm	${r_i}$/ mm	${r_o}$/ mm	${d_F}$/ mm	${d_E}$/ mm	$B$/ mm	${F_r}$/ N	$Pe$/ mm
7	3.969	2.044	2.084	11.58	19.52	7	50	0.005

表 1  轴承参数

Table 1.  Bearing parameters

根据轴承声压级测试标准^[18]，轴承的旋转速度定为3 600 r/min，声压球面的测点半径L为50 mm。轴承内圈表面波纹度的幅值为1.0 μm，内圈表面离散为400个单元，并在所计算的最高频率内其最大网格尺寸满足波长的1/8要求。根据已知的轴承几何参数和运动参数，求解得：轴承内圈旋转频率${f_i}$为60 Hz，滚动体旋转频率${f_b}$为22.34 Hz，内圈相对滚动体转频${f_{ib}} = {f_i} - {f_b}$为37.66 Hz，滚动体通过外圈频率${f_{BPF}} = Z{f_b}$为156.38 Hz，滚动体通过内圈频率${f_{BPFi}} = Z{f_{bi}}$为263.62 Hz。

如图9(a)所示为内圈的轴心轨迹，图9(b)、9(c)分别为轴心轨迹在X轴方向和Y轴方向上的投影。由图可知当不考虑波纹度的影响时轴心轨迹近似于椭圆，轴承内圈按一定的规律周期性振动，振动频率等于滚动体通过外圈频率${f_{BPF}}$。然而当考虑了轴承滚道的波纹度后轴承内圈中心偏离原来的轨迹进行无序运动，且振动的幅值远大于不考虑波纹度时的幅值。

图  9  内圈轴心位移

Figure 9.  Orbit of the inner ring center

图10(a)所示为滚动体球心在径向方向上的位移，由图可知滚动体在径向方向的振动主要由两部分构成，一部分为轴承在运转过程中滚动体不断绕轴心做圆周运动产生的周期性振动，其振动频率为滚动体的旋转频率${f_b}$，另一部分为由内外圈波纹度引起的高频分量。图10(b)所示为由波纹度引起的滚动体在轴向方向的位移，其绕中间平面作往复振动。

图  10  滚动体球心轨迹

Figure 10.  Orbit of the ball center

图11(a)所示为在球面测点处内圈X方向振动分量产生的声场分布，图11(b)所示为在球面测点处内圈Y方向振动分量产生的声场分布。图11(c)、(d)分别为滚动体径向及轴向振动的声场分布，(e)为轴承的总合成声压分布。由图可知内圈和滚动体由振动所产生的声压在空间中的分布是不均匀的，沿着内圈振动方向测得的声压级具有较大数值，而垂直于振动方向测得的声压等级较小。

图  11  轴承内圈平均声场分布

Figure 11.  Sound pressure level distribution

图12(a)、(c)所示分别为内圈在X、Y方向振动所产生的声压信号，在对其进行FFT变换以后可以得到相对应的声压频谱图，如图12(b)、(d)所示。当考虑了滚道表面三维的随机波纹度以后，声压频谱的成分十分复杂，其中在频率为157 Hz附近出现了第一条峰值，此频率对应于滚动体通过外圈频率${f_{BPF}}$。由图(b)、(d)可知当频率低于${f_{BPF}}$时相对应的声压的幅值接近于零，当频率高于${f_{BPF}}$时出现了若干个峰值，其中的部分峰值所在频率与基频${f_{BPF}}$成倍数关系，部分峰值所在频率与${f_{BPFi}}$成倍数关系，另外的一部分由波纹度的影响而产生。

图  12  测点H处内圈的声压响应

Figure 12.  Response of sound pressure for inner at point H

图13(a)所示为在测点H处由单个滚动体在径向方向计算得出的声压信号，13(b)为在测点H处由单个滚动体在轴向向方向计算得出的声压信号。由图中可知由于滚动体在振动的同时绕着轴心作圆周运动，声源与测点间的距离不断发生改变，从而使声压随着时间变化出现周期性的波动，其中径向振动产生的声压的波动频率为$2{f_b}$，轴向振动产生的声压的波动频率为${f_b}$。图13(b) (d)所示为对应的声压频谱图，可知在低频段（小于500 Hz）和高频段（大于1000 Hz）声压所占比例较小，而中频段（500—1000 Hz）所占的比列较大。

图  13  测点H处滚动体的声压响应

Figure 13.  Response of sound pressure for balls at point H

为了研究不同波纹度对深沟球轴承产生噪声的影响，根据JB/T 9924—2014《磨削表面波纹度》标准^[19]，本文取值分别为0.16、0.25、0.40、0.63、1.0 μm。图14所示为在所选取的不同波纹度误差下在测点处内圈沿x方向的声压响应及声压频谱。由图可知随着波纹度误差的上升，轴承内圈产生的噪声也随之增加，且在波纹度误差较小的情况下声压频谱主要由${f_{BPF}}$及其倍频所组成，而在波纹度误差较大的情况下出现了${f_{BPFi}}$及其它高频成分。

图  14  测点H处不同波纹度内圈X方向振动声压响应

Figure 14.  Response of sound pressure with different wavinesss

不同波纹度情况下深沟球轴承各噪声成分的峰峰值和RMS值对比如图15所示，其中波纹度误差为0表示在正常轴承激励下得到的分析结果。由图可知各组分的声压值均随着波纹度误差的增大而增加，增速近似于线性且波纹度误差对滚动体轴向振动噪声的影响略大于径向振动噪声。

图  15  测点H处不同波纹度轴承声压响应成分对比

Figure 15.  Response of sound pressure compared with different sound source and wavinesss

1）通过力学分析，建立了深沟球轴承内外圈滚道的三维波纹度误差模型，分析了在径向力作用下深沟球轴承的受力状态，建立了对内圈轴心轨迹及滚动体运动轨迹的计算模型。采用相应的声学理论，建立了对深沟球内圈和滚动体振动噪声定量计算的声学模型。

2）通过具体的算例，运用本文提出的声学计算模型，数值研究了深沟球轴承内圈和滚动体噪声的声辐射特性。研究表明内圈和滚动体的噪声辐射在空间中具有一定的指向性，且沿着其振动方向的声压级较大；通过对测点处各轴承组分的声压信号及频谱的分析，发现内圈的声压频谱主要出现了以${f_{BPF}}$及${f_{BPFi}}$为基频的倍频分量，并伴随波纹度引起的随机的高频成分，滚动体的声压频谱峰值则主要集中于500—1000 Hz频率段；数值研究了不同波纹度误差对轴承各组分的声压响应影响，绘制了影响曲线，发现存在波纹度误差时的声压大于正常轴承的声压响应，且其峰峰值和RMS值随着波纹度误差的增大而逐渐增大。

符号说明：

$Z$——滚动体数量

$D$——滚动体直径，mm

${r_i}$——内圈沟曲率半径，mm

${r_{\rm{o}}}$——内圈沟曲率半径，mm

${d_F}$——内圈沟底直径，mm

${d_E}$——外圈沟底直径，mm

$B$——轴承宽度，mm

${F_r}$——径向载荷，N

Pe——游隙，mm

${e_\delta }$——接触曲率参数

$\sum \rho $——接触体主曲率和

${\delta _{i,j}}$——j号滚动体与内圈的弹性变形，mm

${\delta _{o,j}}$——j号滚动体与外圈的弹性变形，mm

${\varphi _j}$——j号滚动体方位角，°

${\beta _j}$——j号滚动体与内外滚道接触角度，°

Q_j——j号滚动体接触载荷，N

$k$——声学波数

$\rho '$——空气密度，kg/m³

p_ball——滚动体合成声压，Pa

${{\rm{p}}_{ring}}$——内圈合成声压，Pa

${{\rm{p}}_{tol}}$——轴承总声压，Pa

$SPL$——轴承声压级

${\omega _b}$——滚动体转速，r/min

${f_b}$——滚动体旋转频率，Hz

${f_i}$——内圈旋转频率，Hz

${f_{BPF}}$——滚动体通过外圈频率，Hz

${f_{BPFi}}$——滚动体通过内圈频率，Hz