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  • ISSN 1006-3080
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定向图的张量代数中的单元

    作者简介: 徐一丹(1994-),女,云南昆明人,硕士生,主要研究方向:算子理论和算子代数。E-mail:2468858367@qq.com;
    通讯作者: 李建奎, jkli@ecust.edu.cn
  • 中图分类号: O177.5

Single Elements in Tensor Algebras of Directed Graphs

    Corresponding author: Jian-kui LI, jkli@ecust.edu.cn ;
  • CLC number: O177.5

  • 摘要: 对于任何可数的定向图${ G}$,证明了张量代数${ T}_{ G}^ +$中的单元生成的线性子空间在${ T}_{ G}^ +$中是稠的。对于有限的定向图${{ C}_n}$,我们证明了${ T}_{{{ C}_n}}^ +$中的每个元可以写成${n^2}$个单元的线性组合。
  • 图 1  由顶点$\{ {{{p}}_0},{{{p}}_1} \cdots \}$与边$\{ {e_1},{e_2} \cdots \} $构成的线图${{{G}}_l}$

    Figure 1.  ${{{G}}_l}$ is a line graph with vertex set $\{ {{{p}}_0},{{{p}}_1} \cdots \}$ and edge set $\{ {e_1},{e_2} \cdots \} $

    图 2  由顶点$\{ p,q\} $和边$\{ e,f\} $构成的循环图${{\cal{C}}_2}$

    Figure 2.  ${{{C}}_2}$ is a directed graph with vertex set $\{ p,q\} $ and edge set $\{ e,f\} $

    图 3  $n$个顶点$\{ {x_1}, \ldots ,{x_n}\} $$n$条边$\{ {e_1}, \ldots ,{e_n}\} $构成的循环图${{{C}}_n}$

    Figure 3.  ${{{C}}_n}$ is a directed graph with vertex set $\{ {x_1}, \ldots ,{x_n}\} $ and edge set $\{ {e_1}, \ldots ,{e_n}\} $

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    [5] 李东刘乙奇黄道平 . 基于Tri-training MPLS的半监督软测量模型. 华东理工大学学报(自然科学版), doi: 10.14135/j.cnki.1006-3080.20191202008
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出版历程
  • 收稿日期:  2019-10-29
  • 网络出版日期:  2020-06-16

定向图的张量代数中的单元

    作者简介:徐一丹(1994-),女,云南昆明人,硕士生,主要研究方向:算子理论和算子代数。E-mail:2468858367@qq.com
    通讯作者: 李建奎, jkli@ecust.edu.cn
  • 华东理工大学理学院,上海 200237

摘要: 对于任何可数的定向图\begin{document}${ G}$\end{document},证明了张量代数\begin{document}${ T}_{ G}^ +$\end{document}中的单元生成的线性子空间在\begin{document}${ T}_{ G}^ +$\end{document}中是稠的。对于有限的定向图\begin{document}${{ C}_n}$\end{document},我们证明了\begin{document}${ T}_{{{ C}_n}}^ +$\end{document}中的每个元可以写成\begin{document}${n^2}$\end{document}个单元的线性组合。

English Abstract

  • 单元在研究算子代数的结构时起着十分重要的作用。Ringrose[1]证明了套代数中一个非零元素为单元的充要条件是它是秩一算子,秩一算子是包含它代数的单元。Ringrose利用单元在代数同构之下不变的性质,证明了套代数的同构为空间同构。Lambrou[2]证明了对于任意原子的Boolean子空间格${{L}}$${{\rm{alg}}}{{L}}$中的非零单元是秩一的。

    对于任何${{J}}$-子空间${{L}}$${{\rm{alg}}}{{L}}$中的一个非零元素为单元的充要条件是这个元素是秩一的。文献[3]中,研究者利用单元的性质证明了对于${{J}}$-子空间格${{L}}$${{\rm{alg}}}{{L}}$的代数自同构为拟空间同构。

    文献[4]中,Erdos证明了对于任何C*-代数${{A}}$,存在${{A}}$的一个忠实的*-表示$\rho $满足${\cal{A}}$中非零单元在$\rho $下的像为秩一算子。同时对于Banach代数,Erdos给出了一个例子说明上述C*-代数上的结果在Banach代数中一般不成立。文献[5]中,Erdos等证明了对于复的半单的Banach代数,存在一个Banach空间$X$上到$B(X)$的连续的忠实的表示$\rho $,满足$\rho (s)$为秩一算子的充要条件是$s$为非零的紧作用的单元。文献[6]中,Giotopoulos证明了对于任何半单的零化子代数${{A}}$,存在一个到Banach空间X上的忠实的表示$\pi $,有$\pi (s)$为秩一的充要条件是$s$${{A}}$中的非零单元。文献[7]中,Giotopoulos利用单元对拟三角算子代数给出了一个抽象的刻画。文献[8]中,Moore在${{{C}}^4}$中构造了一个交换的子空间格${{L}}$${{\rm{alg}}}{{L}}$单元的秩为2。文献[9]中,对于完全分配的子空间格${{L}}$,Longstaff和Panaia给出了${{\rm{alg}}}{{L}}$中非零的单元为秩一的充要条件。

    本文研究了自由半广群代数和张量代数中单元的性质;介绍单元和自由半广群代数的相关概念;证明了${{T}}_{{{{G}}_n}}^ +$${{{L}}_{{{{G}}_n}}}$中每个元素为单元,${{T}}_{{{{C}}_n}}^ +$中每个元素是至多${n^2}$个单元的线性组合。同时对于任何的定向图${{G}}$,也证明了${{T}}_{{G}}^ +$中的单元生成的子空间在${{T}}_{{G}}^ +$中是范数稠密的。

    • 定义1.1${{A}}$是一个代数,一个元素$x \in {{A}}$称为一个单元,如果对任意的$a,b \in { A},\;axb = 0$,有$ax = 0$$xb = 0$

      上述定义在任何有0元素的半群中都是有意义的。

      文献[10]中介绍了一类新的自反代数,这类代数为自由半广群代数,自由半广群代数包含了Popescu,Davidson和Pitts研究的自由半群代数。

      ${{G}}$为一个有限或可数无限的定向图,具有边集$E({{G}})$和顶点集$V({{G}})$。对于每一条边$e \in E({{G}})$$s(e)$表示边$e$的起点,$r(e)$表示边$e$的终点。${{F}}_{{G}}^ +$表示${{G}}$中有限长的定向路的全体,${{F}}_{{G}}^ +$称为${{G}}$的自由半广群。顶点集称为长度为零的路。${{{H}}_{{G}}}: = {\ell ^2}\left( {{{F}}_{{G}}^ + } \right)$表示具有正交基$\left\{ {{\xi _\lambda }:\lambda \in {{F}}_{{G}}^ + } \right\}$的Hilbert空间。对于每一个顶点$v \in V$和边$e \in E$,下面我们定义如下投影算子和部分等距算子:

      对于任意的$\xi \in {{F}}_{{G}}^ +$

      下面${\rm{alg\{ }}{{{L}}_v}{{, }}{{{L}}_e}{{\} }}$表示由${{{L}}_v}$${{{L}}_e}$${{I}}$生成的代数。

      定义1.2

      ${{{L}}_{{G}}}$${{G}}$的自由半广群代数,${{T}}_{{G}}^ +$称为${{G}}$的张量代数。

      文献[11]对自由半群代数的性质做了进一步的研究。对于自由半广群代数,文献[10]证明了代数${{{L}}_{{G}}}$是自反的。文献[12]证明了对于两个可数的定向图${{G}}$${{G}}'$${{T}}_{{G}}^ +$${{T}}_{{{G}}'}^ +$作为Banach代数是同构的充要条件是图${{G}}$${{G}}'$是同构的。如果${{G}}$${{G}}'$没有汇点或没有源点,则${{T}}_{{G}}^ +$${{T}}_{{{G}}'}^ +$是代数同构的充要条件是${{G}}$${{G}}'$同构。对于有限定向图${{G}}$,文献[13]研究了${{T}}_{{G}}^ +$的性质。文献[14-15]研究的非交换圆盘代数的推广。

    • 命题2.1${{A}}$是一个代数,$x \in {{A}}$是一个单元。则对任意的$y \in {{A}}$$xy$$yx$也是单元。

      证明 假设$axyb = 0$。因为$x$是一个单元,则$ax = 0$$xyb = 0$。如果$ax = 0$,则$axy = 0$。如果$ax \ne 0$,则$xyb = 0$。因此$xy$是一个单元。

      推论2.2${{A}}$为一个代数,则由${{A}}$的单元生成的${{A}}$的子空间为${{A}}$的一个理想。

      对于$t \in {{{L}}_{{G}}}$,我们可定义一个级数$\sum\limits_{\mu \in {{F}}_{\cal{G}}^ + } {{a_\mu }{L_\mu }} $$t$对应,这里${a_\mu } = \left\langle {t{\xi _{s(\mu )}},{\xi _\mu }} \right\rangle $$\mu \in {{F}}_{{G}}^ +$,这个级数唯一确定$t$。我们称这个级数为$t$的Fourier级数,记为$t \sim \sum\limits_{\mu \in {{F}}_{\cal{G}}^ + } {{a_\mu }{L_\mu }} $。令${\sigma _k}(t) = \sum\limits_{\left| w \right| < k} {(1 - \frac{{\left| w \right|}}{k})} {a_w}{L_w}$,这时${\sigma _k}(t)$按强拓扑收敛到$t$

      ${{G}}$是最简单的图之一的情况下,我们有一些下面的结果。

      命题2.3 设图${{{G}}_n}$有一个单顶点$\{ p\} $${{n}}$条环边$\{ {e_1},{e_2}, \ldots {e_n}\} $构成的,即:$s({e_i}) = r({e_i}) = p$$i = 1,2, \ldots n$,则①${{T}}_{{{{G}}_n}}^ +$的每一个元素都是单元;②${{L}}_{{{{G}}_n}}^{}$的每一个元素是单元。

      证明 仅需证明${{T}}_{{{{G}}_n}}^ +$(或${{L}}_{{{{G}}_n}}^{}$)没有零因子,即如果$a,b \in {{T}}_{{{{G}}_n}}^ +$$ab = 0$,则$a = 0$$b = 0$

      假设$a \ne 0$$b \ne 0$。我们用反证法证明$ab \ne 0$。假设$ab = 0$

      这里$k$为使得${a_u} \ne 0$的最小非负整数$|u|$$l$为使得${b_w} \ne 0$的最小非负整数$|w|$。则

      由假设$ab = 0$,可知$\sum\limits_{|uw| = kl} {a_u}{b_w}{L_{uw}} = 0$。因为所有的$uw$都彼此不同,因此

      ${a_u} = {b_w} = 0$,矛盾。相似地可证②。

      由命题2.3,一个很自然的问题是:对于任何的定向图${{G}}$,是否${{T}}_{{G}}^ +$的每个元素都是单元?事实并非如此!实际上考虑下图所示的“线图”${{{G}}_l}$

      图  1  由顶点$\{ {{{p}}_0},{{{p}}_1} \cdots \}$与边$\{ {e_1},{e_2} \cdots \} $构成的线图${{{G}}_l}$

      Figure 1.  ${{{G}}_l}$ is a line graph with vertex set $\{ {{{p}}_0},{{{p}}_1} \cdots \}$ and edge set $\{ {e_1},{e_2} \cdots \} $

      我们可证明存在一个套,${ N} = \left\{ {{P_i}} \right\}_{i = 0}^\infty$,有${{T}}_{{{{G}}_l}}^ +$${\rm{alg}}N$中的紧算子构成的代数同构。由文献[16]可知,套代数中的一个非零元素为单元的充要条件是它是秩一算子。因此${{T}}_{{{{G}}_l}}^ +$中不是每个元素都是单元。注意${{{L}}_{{{{G}}_l}}}$${\rm{alg}} N$同构,但是这个同构不是空间的,因此${{{L}}_{{{{G}}_l}}}$中的单元未必是秩一的。通过一个表示,${{{L}}_{{{{G}}_l}}}$中的非零单元可以表示成秩一算子。

      定理2.4${{G}}$是一个可数定向图。则${{T}}_{{G}}^ +$中单元生成的线性子空间在${{T}}_{{G}}^ +$中是稠密的。

      证明 对于任意的$w \in {{F}}_{{G}}^ +$,我们证明${L_w}$是一个单元。

      假设$a{L_w}b = 0$$w \in {{F}}_{{G}}^ +$。我们将证明$a{L_w} = 0$${L_w}b = 0$。假设$a{L_w} \ne 0$${L_w}b \ne 0$。设

      分别是$a$$b$的Fourier级数,这里$k$为使得${s_u} \ne 0$的最小非负整数$|u|$$l$为使得${t_v} \ne 0$的最小非负整数$|v|$

      不失一般性可假设当$s(u) \ne r(w)$时,$a$的Fourier级数中${s_u} = 0$。类似的,如果$r(v) \ne s(w)$时,$b$的Fourier级数中${t_v} = 0$。这时我们有

      $|u| = k$$|v| = l$时,项${L_{uwv}}$是互不相同的,且至少有一个${s_u}{t_v}$不为零。因此$a{L_w}b \ne 0$,矛盾。由命题2.1和${{T}}_{{G}}^ +$的定义可知,${{T}}_{{G}}^ +$中单元生成的线性子空间在${{T}}_{{G}}^ +$中是稠密的。

      注2.5 从定理2.4证明可知${{{L}}_{{G}}}$中的单元生成的线性子空间在${{{L}}_{{G}}}$中是弱稠的。

      从定理2.4的证明中可知${{T}}_{{G}}^ +$中元素的Fourier级数展开的项数是没有上界的。这样从定理2.4的证明中我们不能推导出存在一个常数${{M}}$,使${{T}}_{{G}}^ +$中的任何元素可以写成小于或等于${{M}}$个单元的线性组合。事实上,${{T}}_{{{{G}}_n}}^ +$中的每一个元素都是一个单元。下面我们给出另一个具有这样性质的例子。

      考虑下面的图${{{C}}_2}$

      图  2  由顶点$\{ p,q\} $和边$\{ e,f\} $构成的循环图${{\cal{C}}_2}$

      Figure 2.  ${{{C}}_2}$ is a directed graph with vertex set $\{ p,q\} $ and edge set $\{ e,f\} $

      这时${L_p}$为到

      生成的闭子空间上的投影算子。

      $ {L_q}$为到

      生成的闭子空间上的投影算子。设${{H}}$为一个Hilbert空间,$\left\{ {{\eta _i}} \right\}_{i = 0}^\infty $${{H}}$的一个标准正交基。令

      这时,可将$u$$w$分别延拓为${L_p}{l^2}({{F}}_{{C_2}}^ + )$${L_q}l({{F}}_{{C_2}}^ + )$${{H}}$上的等距同构。${L_p}$${L_q}$分别酉等价于${{H}} \oplus {{H}}$上的算子

      ${L_f}$${L_e}$分别酉等价于${\cal{H}} \oplus {\cal{H}}$上的算子

      其中$V \in B({\cal{H}})$$V{\eta _i} = {\eta _{i + 1}}$。这时,我们有

      其中${{A}}({{D}})$是圆盘代数。

      定理2.6 ${{T}}_{{{{C}}_2}}^ +$中的任意一个元素是${{T}}_{{{{C}}_2}}^ +$中的四个单元的线性组合。

      证明 利用(1)我们证明形如

      的任意元素都是单元。下面我们应用${{A}}({{D}})$没有零因子来给出证明。

      我们先证明

      是一个单元。假设

      由此得到

      如果$a = c = 0$,则

      假设$a$$c$中有一个不是零。如果$a \ne 0$,则由(3)中第一行和第三行推出$a' = b' = 0$。如果$c \ne 0$,从(3)中第二行和第四行得到相同的结论。所以

      因此$\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x&0 \\ 0&0 \end{array}} \right)$是一个单元。我们可类似地证明(3)中的其他元素是单元。

      在前面的定理中,我们确实需要4个元素吗?我们将给出在一些情况下,我们需要至少两个元素。

      注2.7 因为${{T}}_{{{{C}}_2}}^ +$有零因子,所以$I \in {{T}}_{{{{C}}_2}}^ +$不是一个单元。

      事实上,考虑${{T}}_{{{{C}}_2}}^ +$的矩阵表示。两个元素

      可知$ab = 0$

      下面考虑循环图${{{C}}_n}$,它包含有$n$个顶点$\{ {x_1}, \ldots ,{x_n}\} $$n$条边$\{ {e_1}, \ldots ,{e_n}\} $

      图  3  由$n$个顶点$\{ {x_1}, \ldots ,{x_n}\} $$n$条边$\{ {e_1}, \ldots ,{e_n}\} $构成的循环图${{{C}}_n}$

      Figure 3.  ${{{C}}_n}$ is a directed graph with vertex set $\{ {x_1}, \ldots ,{x_n}\} $ and edge set $\{ {e_1}, \ldots ,{e_n}\} $

      显然${L_{{x_1}}}$是到由${\xi _{{x_1}}},{\xi _{{e_n}}},{\xi _{{e_n}{e_{n - 1}}}},{\xi _{{e_n}{e_{n - 1}}{e_{n - 2}}}}, \ldots $生成的闭子空间上的投影。对于$1 \leqslant k \leqslant n$${L_{{x_k}}}\left( {{l^2}({{F}}_{{C_n}}^ + )} \right)$是等距同构的。设${L_{{x_k}}}\left( {{l^2}({{F}}_{{C_n}}^ + )} \right) \cong {\cal{H}}$。这时${{{H}}_{{{{C}}_n}}} = \underbrace {{{H}} \oplus \ldots \oplus {{H}}}_n$。算子${L_{{e_1}}} + {L_{{e_2}}} + ... + {L_{{e_n}}}$可表示为

      代数${{T}}_{{{{C}}_n}}^ +$可以由矩阵函数代数表示

      其中${{A}}({{D}})$是圆盘代数[10]

      定理2.8 ${{T}}_{{{{C}}_n}}^ +$中任意的一个元素是${{T}}_{{{{C}}_n}}^ +$${n^2}$个单元的线性组合。

      证明 假设${T_{ij}} = {({{\rm{x}}_{ij}})_{n \times n}} \in {{T}}_{{{{C}}_n}}^ +$仅在$(i,j)$位置上的元素${x_{ij}} \ne 0$,其它位置上的元素全为零。下证${T_{ij}}$${{T}}_{{{{C}}_n}}^ +$的单元。

      $a,b \in {{T}}_{{{{C}}_n}}^ +$$a{T_{ij}}b = 0$。设$a = ({a_{ij}})$$b = ({b_{ij}})$。由$a{T_{ij}}b = 0$可知

      由此,得出

      如果${a_{ti}} = 0$$1 \leqslant t \leqslant n$。这时

      如果${a_{ti}}$$1 \leqslant t \leqslant n$中有一个不为零时,由(5)式${b_{jt}} = 0$$1 \leqslant t \leqslant n$,这时${T_{ij}}b = 0$。因此${T_{ij}}$是一个单元。

    • 我们对于由一个顶点,$n$条环边的图生成的张量代数,证明了其中的每一个元素都是单元。更一般的,对于这个图生成的自由半广群代数,结论也成立。然后证明了对于一个可数定向图生成的张量代数中,单元生成的线性子空间在这个张量代数中是稠密的。最后,对于两个顶点,两条边的循环图生成的张量代数,证明了其中的任意一个元素是四个单元的线性组合。对于更一般的由$n$个顶点,$n$条边的循环图生成的张量代数,我们也给出了类似的结论。Moore给出了${{{C}}^n}$上一个CSL代数单元的秩为2。在未来的工作中,我们将尝试在非自伴代数,自反代数上研究秩一算子和单元的联系。本文对单元的研究给出了一种新的视角,希望这些方法可用于研究更多类型的代数。

(3)  参考文献 (16) 相关文章 (6)

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