• ISSN 1006-3080
• CN 31-1691/TQ
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## 定向图的张量代数中的单元

###### 通讯作者: 李建奎, jkli@ecust.edu.cn ;
• 中图分类号: O177.5

## Single Elements in Tensor Algebras of Directed Graphs

###### Corresponding author: Jian-kui LI, jkli@ecust.edu.cn ;
• CLC number: O177.5

• 摘要: 对于任何可数的定向图${ G}$，证明了张量代数${ T}_{ G}^ +$中的单元生成的线性子空间在${ T}_{ G}^ +$中是稠的。对于有限的定向图${{ C}_n}$，我们证明了${ T}_{{{ C}_n}}^ +$中的每个元可以写成${n^2}$个单元的线性组合。
• 图 1  由顶点$\{ {{{p}}_0},{{{p}}_1} \cdots \}$与边$\{ {e_1},{e_2} \cdots \}$构成的线图${{{G}}_l}$

Figure 1.  ${{{G}}_l}$ is a line graph with vertex set $\{ {{{p}}_0},{{{p}}_1} \cdots \}$ and edge set $\{ {e_1},{e_2} \cdots \}$

图 2  由顶点$\{ p,q\}$和边$\{ e,f\}$构成的循环图${{\cal{C}}_2}$

Figure 2.  ${{{C}}_2}$ is a directed graph with vertex set $\{ p,q\}$ and edge set $\{ e,f\}$

图 3  $n$个顶点$\{ {x_1}, \ldots ,{x_n}\} $$n条边\{ {e_1}, \ldots ,{e_n}\} 构成的循环图{{{C}}_n} Figure 3. {{{C}}_n} is a directed graph with vertex set \{ {x_1}, \ldots ,{x_n}\} and edge set \{ {e_1}, \ldots ,{e_n}\} •  [1] RINGROSE J R. On some algebras of operators[J]. London Mathematical Society, 1966, 16(3): 385-402. [2] LAMBROU M S. Automatic continuity and implementation of homomorphisms, U.Crete(manuscript), 1982. [3] LI J, PANAIA O. Algebraic isomorphisms and J-subspace lattices[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 2005, 133(9): 2577-2587. doi: 10.1090/S0002-9939-05-07581-7 [4] ERDOS J A. On certain elements of C*-algebras[J]. Illinois Journal of Mathematics, 1971, 15: 682-693. doi: 10.1215/ijm/1256052521 [5] ERDOS J A, GIOTOPOULOS S, LAMBROU M S. Rank one elements of Banach algebras[J]. Mathematika, 1977, 24(2): 178-181. doi: 10.1112/S0025579300009074 [6] GIOTOPOULOS S. A note on annihilator Banach algebras[J]. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1985, 97(1): 101-106. doi: 10.1017/S0305004100062630 [7] GIOTOPOULOS S. Single elements in Banach algebras[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2002, 270(1): 129-142. doi: 10.1016/S0022-247X(02)00055-0 [8] MOORE R L. Isomorphisms for CSL Algebras[J]. Indiana University Mathematics Journal, 2003, 52(3): 687-702. doi: 10.1512/iumj.2003.52.2201 [9] LONGSTAFF W E, PANAIA O. On the ranks of single elements of reflexive operator algebras[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1997, 125(10): 2875-2882. doi: 10.1090/S0002-9939-97-03968-3 [10] KRIBS D W, POWER S C. Free semigroupoid algebras[J]. Journal of the Ramanujan Mathematical Society, 2004, 19(2): 117-159. [11] DAVIDSON K R, DOR-ON A, Li B. Structure of free semigroupoid algebras[J]. Journal of Functional Analysis, 2019, 277(9): 2183-2250. [12] KATSOULIS E, KRIBS D. Isomorphisms of algebras associated with directed graphs[J]. Mathematische Annalen, 2004, 330(4): 709-728. doi: 10.1007/s00208-004-0566-6 [13] MUHLY P S, SOLEL B. Tensor algebras over C*-correspondences: representations, dilations, and C*-envelopes[J]. Journal of Functional Analysis, 1998, 158(2): 389-457. doi: 10.1006/jfan.1998.3294 [14] POPESCU G. Non-commutative Disc algebras and their representations[J]. Proceedings of the American Mathematical Society, 1996, 124(7): 2137-2148. doi: 10.1090/S0002-9939-96-03514-9 [15] POPESCU G. Free holomorphic automorphism of the unit ball of B(H)n[J]. Journal für die reine und angewandte Mathematik, 2010, 638: 119-168. [16] DAVIDSON K R. Nest algebras[M]. New York: Mathematics Series, 1988. •  [1] 王德勋 , 虞慧群 , 范贵生 . 基于深度学习的面部动作单元识别算法. 华东理工大学学报（自然科学版）, doi: 10.14135/j.cnki.1006-3080.20190107003 [2] 骆楠 , 祁佳康 , 罗娜 . 基于双向门控循环单元神经网络的间歇过程最终产品质量预测. 华东理工大学学报（自然科学版）, doi: 10.14135/j.cnki.1006-3080.20190926001 [3] 于中宝 , 邵方明 . 并行系统中排列图的可靠性近似算法. 华东理工大学学报（自然科学版）, doi: 10.14135/j.cnki.1006-3080.20180531001 [4] 李晨玥 , 张雪芹 , 曹涛 . 一种基于光度信息和ORB特征的建图SLAM. 华东理工大学学报（自然科学版）, doi: 10.14135/j.cnki.1006-3080.20200117006 [5] 李东 , 刘乙奇 , 黄道平 . 基于Tri-training MPLS的半监督软测量模型. 华东理工大学学报（自然科学版）, doi: 10.14135/j.cnki.1006-3080.20191202008 [6] 陈帅 , 庞瑞淇 , 刘思奕 , 洪晨雨 , 马绍花 , 杲云 , 田佳 . 卟啉半遥爪聚合物的制备及其在光动力疗法中的应用探讨. 华东理工大学学报（自然科学版）, doi: 10.14135/j-cnki.1006-3080.20190309001 点击查看大图 图(3) ##### 计量 • 文章访问数: 218 • HTML全文浏览量: 165 • PDF下载量: 2 • 被引次数: 0 ##### 出版历程 • 收稿日期: 2019-10-29 • 网络出版日期: 2020-06-16 ## 定向图的张量代数中的单元 ###### 作者简介:徐一丹（1994-），女，云南昆明人，硕士生，主要研究方向：算子理论和算子代数。E-mail：2468858367@qq.com ###### 通讯作者: 李建奎, jkli@ecust.edu.cn; • 华东理工大学理学院，上海 200237 摘要: 对于任何可数的定向图\begin{document}{ G}\end{document}，证明了张量代数\begin{document}{ T}_{ G}^ +\end{document}中的单元生成的线性子空间在\begin{document}{ T}_{ G}^ +\end{document}中是稠的。对于有限的定向图\begin{document}{{ C}_n}\end{document}，我们证明了\begin{document}{ T}_{{{ C}_n}}^ +\end{document}中的每个元可以写成\begin{document}{n^2}\end{document}个单元的线性组合。 ### English Abstract • 单元在研究算子代数的结构时起着十分重要的作用。Ringrose[1]证明了套代数中一个非零元素为单元的充要条件是它是秩一算子，秩一算子是包含它代数的单元。Ringrose利用单元在代数同构之下不变的性质，证明了套代数的同构为空间同构。Lambrou[2]证明了对于任意原子的Boolean子空间格{{L}}$${{\rm{alg}}}{{L}}$中的非零单元是秩一的。

对于任何${{J}}$-子空间${{L}}$${{\rm{alg}}}{{L}}中的一个非零元素为单元的充要条件是这个元素是秩一的。文献[3]中，研究者利用单元的性质证明了对于{{J}}-子空间格{{L}}$${{\rm{alg}}}{{L}}$的代数自同构为拟空间同构。

文献[4]中，Erdos证明了对于任何C*-代数${{A}}$，存在${{A}}$的一个忠实的*-表示$\rho$满足${\cal{A}}$中非零单元在$\rho$下的像为秩一算子。同时对于Banach代数，Erdos给出了一个例子说明上述C*-代数上的结果在Banach代数中一般不成立。文献[5]中，Erdos等证明了对于复的半单的Banach代数，存在一个Banach空间$X$上到$B(X)$的连续的忠实的表示$\rho$，满足$\rho (s)$为秩一算子的充要条件是$s$为非零的紧作用的单元。文献[6]中，Giotopoulos证明了对于任何半单的零化子代数${{A}}$，存在一个到Banach空间X上的忠实的表示$\pi$，有$\pi (s)$为秩一的充要条件是$s$${{A}}中的非零单元。文献[7]中，Giotopoulos利用单元对拟三角算子代数给出了一个抽象的刻画。文献[8]中，Moore在{{{C}}^4}中构造了一个交换的子空间格{{L}}$${{\rm{alg}}}{{L}}$单元的秩为2。文献[9]中，对于完全分配的子空间格${{L}}$，Longstaff和Panaia给出了${{\rm{alg}}}{{L}}$中非零的单元为秩一的充要条件。

本文研究了自由半广群代数和张量代数中单元的性质；介绍单元和自由半广群代数的相关概念；证明了${{T}}_{{{{G}}_n}}^ +$${{{L}}_{{{{G}}_n}}}$中每个元素为单元，${{T}}_{{{{C}}_n}}^ +$中每个元素是至多${n^2}$个单元的线性组合。同时对于任何的定向图${{G}}$，也证明了${{T}}_{{G}}^ +$中的单元生成的子空间在${{T}}_{{G}}^ +$中是范数稠密的。

(3)  参考文献 (16) 相关文章 (6)

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